a) Xét ΔABC có
CH<BH(4cm<9cm)
mà đường xiên của CH là AC
và đường xiên của BH là AB
nên AC<AB(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu trong tam giác)
Xét ΔABC có AC<AB(cmt)
mà góc đối diện với cạnh AC là \(\widehat{ABC}\)
và góc đối diện với cạnh AB là \(\widehat{ACB}\)
nên \(\widehat{ABC}< \widehat{ACB}\)(định lí 1 về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)(1)
Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)
nên \(\widehat{ACH}+\widehat{CAH}=90^0\)(hai góc ngọn phụ nhau)
hay \(\widehat{ACB}=90^0-\widehat{CAH}\)(2)
Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC)
nên \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{BAH}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(90^0-\widehat{BAH}< 90^0-\widehat{CAH}\)
\(\Leftrightarrow-\widehat{BAH}< -\widehat{CAH}\)
hay \(\widehat{BAH}>\widehat{CAH}\)
b) Áp dụng định lí pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được:
\(AC^2=AH^2+CH^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=6^2+4^2=52\)
hay \(AC=2\sqrt{13}cm\)(7)
Áp dụng định lí pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:
\(AB^2=AH^2+HB^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=6^2+9^2=117\)
hay \(AB=\sqrt{117}=3\sqrt{13}cm\)
Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)
hay BC=4+9=13cm
⇔\(BC^2=13^2=169cm\)(4)
Ta có: \(AB^2+AC^2=\left(3\sqrt{13}\right)^2+\left(2\sqrt{13}\right)^2=117+52=169cm\)(5)
Từ (4) và (5) suy ra \(BC^2=AB^2+AC^2\)(=169)
Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)(cmt)
nên ΔABC vuông tại A(định lí Pytago đảo)
c) Ta có: HI+IB=HB(I nằm giữa H và B)
hay HI=HB-IB=9cm-3cm=6cm
Xét ΔBAH có KI//AH(gt)
nên \(\frac{BI}{BH}=\frac{KI}{AH}\)(hệ quả của định lí Ta lét)
\(\Rightarrow\frac{3}{9}=\frac{KI}{6}\)
hay \(KI=\frac{3\cdot6}{9}=\frac{18}{9}=2cm\)
Ta có: KI//AH(gt)
AH⊥BC(gt)
Do đó: KI⊥BC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Áp dụng định lí pytago vào ΔBKI vuông tại I, ta được:
\(BK^2=KI^2+BI^2\)
hay \(BK^2=2^2+3^2=13\)
hay \(BK=\sqrt{13}cm\)
Ta có: AK+KB=AB(K nằm giữa A và B)
hay \(AK=AB-KB=3\sqrt{13}-\sqrt{13}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)(6)
Từ (6) và (7) suy ra AK=AC(đpcm)
