Question

Biết phương trình \(\left(m-2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m=0\) có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Answer 1

TH1: m=2

Pt sẽ là -2(2-1)x+2=0

=>-2x+2=0

=>x=1(loại)

TH2: m<>2

\(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4m\left(m-2\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m^2+8m=4>0\)

=>PT có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2\left(m-1\right)-2}{2\left(m-2\right)}=1\\x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)+2}{2\left(m-2\right)}=\dfrac{m}{m-2}\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(1+\left(\dfrac{m-2}{m}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)

=>(m-2/m)^2=1/4

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-2}{m}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{m-2}{m}=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-4=m\\-2m+4=m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)