Bài 4: Cho tam giác DEF có DE = DF = 5cm, EF = 6cm. Gọi I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh tam giác DEI = tam giác DFI
b) Tính độ dài đọan DI
c) Kẻ IH vuông góc với DE (H thuộc DE). Kẻ IJ vuông góc với DF (J thuộc DF). Chứng minh: tam giác IHJ là tam giác cân.
d) Chứng minh: HJ song song EF.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A , BD là phân giác của góc B . Vẽ DI vuông góc với BC (điểm I thuộc BC) . Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DI và AB.
a) Chứng minh : tam giác ABD = tam giác IBD.
b) Chứng minh : BD vuông góc AI.
c) Chứng minh : DK = DC.
d) Cho AB = 6 cm ; AC = 8 cm . Hãy tính IC = ?
Bài 6: Cho Tam giác DEF. Gọi M là trung điểm của EF. Qua E, vẽ đường thẳng vuông góc với DE cắt DM tại K. Trên đoạn thẳng DM lấy điểm I sao cho MI = MK.
a) Chứng minh: tam giác EMK = tam giác FMI
b) Chứng minh: FI vuông góc DE.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) . Trên tia đối của tia AB, lấy điểm E sao cho AE = AC. Trên tia đối của tia AC, lấy điểm D sao cho AD = AB.
a) Chứng minh: tam giác ABC = tam giác ADE.
b) Vẽ AH vuông góc BC tại H. Chứng minh: tam giác BAH = tam giác ACH.
c) Tia HA cắt DC tại K. Chứng minh: K là trung điểm của DE.
d) Chứng minh: BD // CE và BD + CE = BE.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A.Vẽ đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm H vẽ tia Ax sao cho góc BAx= góc BAH. Gọi tia AY là tia đối của tia Ax. Vẽ BD và CE vuông góc với đường thẳng xy (D, E thuộc xy). Chứng minh:
a) Tia AC là tia phân giác của góc Hay.
b) BD+CE=BC và A là trung điểm của DE.
c) HD vuông góc với HE.
Bài 9*. Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc BC tại H. Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh AC tại D, E là điểm trên cạnh AB sao cho BE = BH. Chứng minh rằng: EH // AD.
Bài 10*. Cho tam giác ABC, có BH vuông góc AC tại H và BH = 1/2AC và góc BAC bằng 75 độ. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.
Bài 11.
Cho tam giác ABC cân tại A (AB > BC). Vẽ BDvuông gócAC tại D, CEvuông góc AB tại E.
a) Chứng minh rằng : tam giác DAB = tam giác EAC và tam giác ADE cân.
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng : AH là tia phân giác của góc BAC.
c) Chứng minh rằng : AH > CH.
Bài 12. Cho góc nhọn xAy < 60 độ. Trên các tia Ax, Ay lần lượt lấy hai điểm B, C sao cho AB = AC và AB > BC. Vẽ BM vuông góc AC tại M, CN vuông góc với AB tại N.
a) Chứng minh rằng : tam giác MAB= tam giác NAC v tam giác AMN cn.
b) Gọi K l giao điểm của BM và CN. Chứng minh rằng: AK l tia phân giác của góc BAC.
c) Chứng minh rằng : AK > CK.
Bài 4 :
a) Xét \(\Delta DEI,\Delta DFI\) có :
\(DE=DF\) (\(\Delta DEF\) cân tại D)
\(EI=IF\)(I là trung điểm của EF)
\(DI:chung\)
=> \(\Delta DEI=\Delta DFI\left(c.c.c\right)\)
b) Ta có : \(EI=IF=\dfrac{EF}{2}=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta DIE\) vuông tại I có:
\(DI^2=ED^2-EI^2\) (định lí PITAGO)
=> \(DI^2=5^2-3^2=16\)
=> \(DI=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)
c) Xét \(\Delta HIE,\Delta JIF\) có :
\(\widehat{IHE}=\widehat{IJF}\left(=90^{^O}\right)\)
\(EI=EF\) (I là trung điểm của EF)
\(\widehat{HEI}=\widehat{JFI}\) (Tam giác DEF cân tại D)
=> \(\Delta HIE=\Delta JIF\) (cạnh huyền -góc nhọn)
=> \(HI=HJ\) (2 cạnh tương ứng)
Do đó: \(\Delta IHJ\) cân tại H (đpcm)
d) Xét \(\Delta DHI,\Delta DJI\) có:
\(HI=IJ\) (tam giác HIJ cân tại H)
\(\widehat{DHI}=\widehat{DJI}\left(=90^o\right)\)
DI : Chung
=> \(\Delta DHI=\Delta DJI\left(c.g.c\right)\)
=> \(\Delta DHJ\)cân tại D
Ta có : \(\widehat{DHJ}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{D}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta DEF\) cân tại D(gt) có :
\(\widehat{DEF}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{D}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{DHJ}=\widehat{DEF}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{D}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> \(HJ//EF\)
=> đpcm
a) Xét \(\Delta ABD,\Delta IBD\) có :
\(\widehat{BAD}=\widehat{BID}\left(=90^{^O}\right)\)
\(BD:Chung\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{IBD}\) (BD là phân giác của \(\widehat{B}\) )
=> \(\Delta ABD=\Delta IBD\) (cạnh huyền - góc nhọn) (*)
b) Xét \(\Delta ABI\) có :
\(AB=BI\) [từ (*)]
=> \(\Delta ABI\) cân tại B
Lại có : BD là phân giác trong \(\Delta ABI\)
Suy ra : BD đồng thời là trung trực trong \(\Delta ABI\)
=> \(BD\perp AI\) (đpcm)
c) Xét \(\Delta ABC,\Delta IBK\) có :
\(\widehat{B}:Chung\)
\(AB=BI\) (từ *)
\(\widehat{BAC}=\widehat{BIK}\left(=90^{^O}\right)\)
=> \(\Delta ABC=\Delta IBK\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(\widehat{BCA}=\widehat{BKI}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta BDK,\Delta BDC\) có :
\(\widehat{DBK}=\widehat{DBC}\) (BD là tia phân giac của góc B)
\(BD:Chung\)
\(\widehat{BKD}=\widehat{BCD}\) (do \(\widehat{BCA}=\widehat{BKI}\) )
=> \(\Delta BDK=\Delta BDC\left(g.c.g\right)\)
=> \(DK=DC\)(2 cạnh tương ứng)
=> đpcm
Bài 6 :
a) Xét \(\Delta EMK,\Delta FMI\) có:
\(EM=MF\) (M là trung điểm của EF)
\(\widehat{EMK}=\widehat{FMI}\) (đối đỉnh)
\(IM=MK\left(gt\right)\)
=> \(\Delta EMK=\Delta FMI\left(c.g.c\right)\) (*)
b) Từ (*) ta có :
\(\widehat{KEM}=\widehat{IFM}\) (2 góc tương ứng)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí so le trong
=> \(FI//EK\) (1)
Theo giả thiết có : \(EK\perp DE\) (2)
Từ (1) và (2) => \(FI\perp DE\)
Ta có đpcm.
