Question

Bài 4: Cho ΔABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H. Biết AB = 5cm ,BC = 6cm.

a) Chứng minh BH = HC

b) Tính độ dài BH , AH

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng A , G , H thẳng hàng .

d) Chứng minh góc ABG = góc ACG

Answer 1

(Tự vẽ hình)

a, Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\left(AH\perp BC\right)\)

\(\)AH chung

\(=>\Delta AHB=\Delta AHC\left(ch-cgv\right)\)

\(~>BH=HC\) (cặp cạnh tương ứng)

b, Ta có: BH + HC = BC = 6 cm

=> BH = HC = 3 cm

- Áp dụng định lý Py - ta - go cho tam giác vuông AHB:

\(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(=>AH^2=AB^2-BH^2\)

\(AH^2=5^2-3^2\)

\(AH^2=25-6=19\)

\(~>AH=\sqrt{19}\)

c, Do G là trọng tâm ΔABC ( gt)

⇒AG là đường trung tuyến của ΔABC

⇒ AG đi qua trung điểm của BC (1)

mà H là trung điểm của BC (gt) (2)

(1)(2) ⇒⇒ A ; G ; H thẳng hàng

d, Ta có: ΔABC cân tại A, đường cao AH (gt)

⇒AH là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)

⇒\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)

Xét ΔABG và ΔACG

có AG cạnh chung

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)

AB = AC (gt)

⇒ΔABG = ΔACG ( c-g-c)

⇒ \(\widehat{ABG}=\widehat{ACG}\)

Answer 2

Bài 4: Cho ΔABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H. Biết AB = 5cm ,BC = 6cm.

a) Chứng minh BH = HC

b) Tính độ dài BH , AH

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng A,G , H thẳng hàng .

d) \(\widehat{ABG}\) = \(\widehat{ACG}\)

Giải

a) Chứng minh BH = HC

- Xét Δ AHB và Δ AHC có:

+ \(\widehat{AHB}\) = \(\widehat{AHC}\) = 90⁰ (vì AH ⊥ BC = {H}, giả thiết)

+ AB = AB (vì Δ ABC cân tại A, giả thiết)

+ AH chung

⇒ Δ AHB = Δ AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ BH = HC (2 cạnh tương ứng)

b) Tính độ dài BH , AH

Ta có BH = HC (CM câu a)

Mà BC = BH + HC

6 = BH + HC

⇒ BH = HC = \(\frac{6}{2}\)= 3 cm

- Áp dụng định lý Pytago vào Δ AHB vuông tại H

⇒ AB² = AH² + BH²

5² = AH² + 3²

25 = AH² + 9

AH² = 25-9

AH² = 16 = 4²

⇒ AH = 4 cm

Vậy: BH = 3 cm

AH = 4 cm

c) Chứng minh rằng A,G , H thẳng hàng .

G là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ AG là trung tuyến của BC

mà ΔABC cân tại A

⇒ AG là đường cao của BC (tính chất tam giác cân)

mà AH là đường cao của BC

⇒ G ∈ AH hay A, G, H thẳng hàng (đpcm)

d) \(\widehat{ABG}\) = \(\widehat{ACG}\)

- Ta có: AH là đường trung trực của BC

mà G ∈ AH (CM câu c)

⇒ GB = GC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

⇒ Δ GBC cân tại G

- Ta có: Δ ABC cân tại A

⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\) (vì Δ GBC cân tại G, CMT)

⇒ \(\widehat{ABC}-\widehat{GBC}\) = \(\widehat{ACB}-\widehat{GCB}\)

⇒ \(\widehat{ABG}=\widehat{ACG}\) (đpcm)