Question

Bài 3: cho a+b+c =1 và 1/a+1/b+1/c =0. Cm a^2+b^2+c^2=1

Answer 1

Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\) (*)

Lại có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)

Kết hợp với (*) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=1\)(đpcm)

Answer 2

Ta có: \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+bc+ca\right)=1\left(1\right)\)

Lại có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)

\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ca\right)=0\left(2\right)\) ( Nhân 2 vế cho 2abc khác 0 )

Lấy \(\left(1\right)\) trừ \(\left(2\right)\) vế theo vế ta được \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow\) Đpcm.