Question

Bài 2: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM, trọng tâm G . Vẽ đường thẳng d đi qua G, cắt các cạnh AB, AC . Gọi A’, B’, C’, M’ lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, M trên đường thẳng d. Chứng minh a/ BB’+CC’=2MM’ b/ AA’=BB’+CC’.

Answer 1

a: Ta có: MM'⊥d

BB'⊥d

CC'⊥d

A'A⊥d

Do đó: MM'//BB'//CC'//A'A

Xét hình thang BB'C'C có

M là trung điểm của BC

MM'//BB'//CC'

Do đó: M' là trung điểm của B'C'

Xét hình thang BB'C'C có

M,M' lần lượt là trung điểm của BC,B'C'

=>M'M là đường trung bình của hình thang BB'C'C

=>\(M^{\prime}M=\frac{BB^{\prime}+C^{\prime}C}{2}\)

=>B'B+C'C=2M'M

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

G là trọng tâm

Do đó: AG=2GM

Xét ΔGA'A vuông tại A' và ΔGM'M vuông tại M' có

\(\hat{A^{\prime}GA}=\hat{M^{\prime}GM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔGA'A~ΔGM'M

=>\(\frac{A^{\prime}A}{M^{\prime}M}=\frac{GA}{GM}=2\)

=>A'A=2MM'

=>A'A=BB'+CC'