Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
bikini ruoc

Bài 2. Cho tam giác ABC có Â = 60 độ, M là điểm nằm giữa B và C. Vẽ điểm E sao cho AB là đường trung trực của ME, điểm F sao cho AC là đường trung trực của MF.
a) Chứng minh trung trực của EF đi qua A.
b) Chứng minh BE + CF = BC
c) Tính các góc của tam giác AEF.
d) EF cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh MA là phân giác của góc IMK.
e) Phải cho góc A của tam giác ABC bằng bao nhiêu độ để A là trung điểm của EF.

Nguyễn Lê Phước Thịnh
16 tháng 5 2020 lúc 10:56

a) Ta có: AB là đường trung trực của EM(gt)

⇒A nằm trên đường trung trực của EM

hay AE=AM(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: AC là đường trung trực của MF(gt)

⇒A nằm trên đường trung trực của FM

hay AM=AF(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE=AF

hay A nằm trên đường trung trực của EF(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

b) Ta có: AB là đường trung trực của EM(gt)

⇒B nằm trên đường trung trực của EM

hay BE=BM(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: AC là đường trung trực của MF(gt)

⇒C nằm trên đường trung trực của FM

hay CM=CF(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Ta có: BM+CM=BC(M nằm giữa B và C)(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra BC=BE+CF(đpcm)

c) Xét ΔABE và ΔABM có

AE=AM(cmt)

AB là cạnh chung

BE=BM(cmt)

Do đó: ΔABE=ΔABM(c-c-c)

\(\widehat{EAB}=\widehat{BAM}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AB nằm giữa hai tia AE,AM

nên AB là tia phân giác của \(\widehat{EAM}\)

hay \(\widehat{EAM}=2\cdot\widehat{BAM}\)(6)

Xét ΔAMC và ΔAFC có

AM=AF(cmt)

AC chung

MC=CF(cmt)

Do đó: ΔAMC=ΔAFC(c-c-c)

\(\widehat{MAC}=\widehat{FAC}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AC nằm giữa hai tia AF,AM

nên AC là tia phân giác của \(\widehat{FAM}\)

hay \(\widehat{FAM}=2\cdot\widehat{CAM}\)(7)

Ta có: \(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=\widehat{BAC}\)(tia AM nằm giữa hai tia AB,AC)

hay \(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=60^0\)(8)

Ta có: \(2\cdot\widehat{BAM}+2\cdot\widehat{CAM}=\widehat{EAM}+\widehat{FAM}\)

hay \(2\cdot\left(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}\right)=\widehat{EAM}+\widehat{FAM}\)(9)

Từ (6),(7),(8) và (9) suy ra:

\(\widehat{EAM}+\widehat{FAM}=120^0\)(10)

Ta có: \(\widehat{EAM}+\widehat{FAM}=\widehat{FAE}\)(tia AM nằm giữa hai tia AE,AF)(11)

Từ (10) và (11) suy ra: \(\widehat{FAE}=120^0\)

Xét ΔAEF có AE=AF(cmt)

nên ΔAEF cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

\(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\frac{180^0-\widehat{EAF}}{2}\)(số đo của các góc ở đáy trong ΔAEF)

hay \(\widehat{AEF}=30^0\); \(\widehat{AFE}=30^0\)

Vậy: \(\widehat{FAE}=120^0\); \(\widehat{AEF}=30^0\); \(\widehat{AFE}=30^0\)


Các câu hỏi tương tự
Giai Kỳ
Xem chi tiết
Trọng Trường
Xem chi tiết
~Stxrlight~
Xem chi tiết
k dương
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
neji
Xem chi tiết
BảoChou
Xem chi tiết
đức khang trần
Xem chi tiết
Thu Hương Hoàng
Xem chi tiết