1.
\(y'=3mx^2-2x+3\)
Để hàm đồng biến trên \(\left(-3;0\right)\Leftrightarrow y'\ge0\) ; \(\forall x\in\left(-3;0\right)\)
\(\Leftrightarrow3mx^2-2x+3\ge0\) ; \(\forall x\in\left(-3;0\right)\)
\(\Leftrightarrow3mx^2\ge2x-3\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{2x-3}{3x^2}\) ; \(\forall x\in\left(-3;0\right)\)
\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{\left(-3;0\right)}\frac{2x-3}{3x^2}\)
Xét \(f\left(x\right)=\frac{2x-3}{3x^2}\) trên \(\left(-3;0\right)\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{2\left(3-x\right)}{3x^3}< 0\) ; \(\forall x\in\left(-3;0\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến \(\Rightarrow f\left(x\right)< f\left(-3\right)=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow m\ge-\frac{1}{3}\)
2.
\(y=1-2sin^2x+2sinx-2020=-2sin^2x+2sinx-2019\)
Đặt \(sinx=t\) với \(\left|t\right|\le1\)
\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=-2t^2+2t-2019\)
\(f'\left(t\right)=-4t+2=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đạt cực đại tại \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow y_{CĐ}=y\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{4037}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+n2\pi\end{matrix}\right.\)
\(0\le x\le10\pi\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le\frac{\pi}{6}+k2\pi\le10\pi\\0\le\frac{5\pi}{6}+n2\pi\le10\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le k\le4\\0\le n\le4\end{matrix}\right.\) có 5 giá trị n và 5 giá trị k \(\Rightarrow\) có 10 giá trị cực đại trên đoạn đã cho
\(\sum y_{CĐ}=10.y_{CĐ}=-20185\)
Lưu ý là do hàm \(f\left(t\right)\) và \(f\left(x\right)\) trùng cực đại nên làm được kiểu đặt ẩn phụ này, chứ tìm cực tiểu thì ko được
Bài 1:
TXĐ: $\mathbb{R}$
$y'=3mx^2-2x+3$
Để hàm số đồng biến trên $(-3;0)$ thì:
$y'=3mx^2-2x+3\geq 0, \forall x\in (-3;0)$
$\Leftrightarrow m\geq \frac{2x-3}{3x^2}, \forall x\in (-3;0)$
Xét hàm:
$f(x)=\frac{2x-3}{3x^2}$ trên $(-3;0)$ có:
$f'(x)=\frac{-2(x-3)}{3x^3}< 0$ với mọi $x\in (-3;0)$
$\Rightarrow f(x)< f(-3)=\frac{-1}{3}$
Do đó $m\geq \frac{-1}{3}$
Bài 2:
$y=\cos 2x+2\sin x=1-2\sin ^2x+2\sin x$
$y'=-4\sin x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi$ với $k$ nguyên
Vì $x\in [0;10\pi]$ nên:
$y'=0\Leftrightarrow x\in \left\{\frac{\pi}{6}; \frac{13}{6}\pi; \frac{25}{6}\pi; \frac{37}{6}\pi; \frac{49}{6}\pi; \frac{5}{6}\pi; \frac{17}{6}\pi; \frac{29}{6}\pi; \frac{41}{6}\pi; \frac{53}{6}\pi\right\}$
$y''=-4\cos x$. Nhận thấy $x\in \left\{\frac{\pi}{6}; \frac{13}{6}\pi; \frac{25}{6}\pi; \frac{37}{6}\pi; \frac{49}{6}\pi\right\}$ thì $y''< 0$
Do đó 5 giá trị trên của $x$ là điểm cực đại của hàm số
$y_{cđ}=1-2.(\frac{1}{2})^2+\2. \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
Tổng các giá trị cực đại:$\frac{3}{2}.5=\frac{15}{2}$
