Question

bài 1 : tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

A = \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-8}\)

B= \(\sqrt{x-3}-\sqrt{x-8}\)

Answer 1

Lời giải:

Các biểu thức $A,B$ tìm được giá trị lớn nhất chứ không có GTNN nhé bạn

Áp dụng BĐT phụ sau:

Với $a> b\geq 0$ thì $\sqrt{a}-\sqrt{b}\leq \sqrt{a-b}(*)$

CM BĐT $(*)$ như sau:

$(*)\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\leq a-b$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}-2b\geq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a> b\geq 0$

Dấu "=" xảy ra khi $b=0$

BĐT $(*)$ được chứng minh.

Áp dụng vào bài toán:

$A=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-8}\leq \sqrt{(x+1)-(x-8)}=3$

$B=\sqrt{x-3}-\sqrt{x-8}\leq \sqrt{(x-3)-(x-8)}=\sqrt{5}$

Vậy $A_{\max}=3$ khi $x=8$

$B_{\max}=\sqrt{5}$ khi $x=8$