Question

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A,có AB=6, gọi D,E lần lượt là trung điểm của BC,AC. Gọi F là điểm đối xứng với D qua E

       a, Tính DE ?

       b, Chứng minh ABDF là hình bình hành

       c, Chứng minh ADCF là hình thoi. Tính cạnh hình thoi biết AC=8 ?

       d, Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để ADCF là hình vuông? 

Answer 1

a, $△ABC$ có: $D$ là trung điểm của $BC$, $E$ là trung điểm của $AC$

 là đường trung bình của $△ABC$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}DE=\frac{1}{2}AB\left(1\right)\\ DE//AB\left(2\right)\end{array}$

$\left(1\right)\Rightarrow DE=\frac{1}{2}.6=3$

b, Có: $F$ là điểm đối xứng với $D$ qua $E$

$\Rightarrow DE=DF$

$\Rightarrow DF=2DE=2.\frac{1}{2}AB=AB\left(3\right)$

 (theo $\left(1\right)$$\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow ABDF$ là hình bình hành ${}_{\square }$

c, ABDF là hình bình hành $\Rightarrow \{\begin{array}{c}AF//BD\left(4\right)\\ AF=BD\end{array}$

Mặt khác $D$ là trung điểm của $BC$ nên $BD=BC$ $\Rightarrow AF=BC\left(5\right)$

 là hình bình hành

Ta lại có: $\{\begin{array}{c}AB\perp AC(\hat{A}={90}^{\circ })\end{array}$

Vậy hình bình hành $ADCF$có hai đường chéo vuông góc hay là $ADCF$là hình thoi 

Có $ADCF$ là hình thoi $\Rightarrow AE=\frac{1}{2}AC=4$

$△ADE$ có $\hat{E}={90}^{\circ }$ ()

$\Rightarrow A{E}^2+D{E}^2=A{D}^2$(Định lý Pythagore)

thay $AE=4$ và $DE=3$ tính được $AD=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$

d, Để $ADCF$ là hình vuông thì $AD\perp BC$

Mà có $DC=DB=\frac{1}{2}BC\left(gt\right)$ nên $AD\perp BC$ khi và chỉ khi $AD$ là đường trung trực của $BC$

Tức là $AB=AC$ hay $△ABC$ vuông cân tại A

Điều kiện để $ADCF$ là hình vuông là $△ABC$ vuông cân tại A

sai thì thôi nha