Question

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của AC, kẻ MD vuông góc với BD tại D. Chứng minh: AB² = BD² - DC²

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Chứng minh: MB² + MC² = 2AM²

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 17cm, CD = 33cm, DB là phân giác của góc D.

1) Tính chu vi hình thang ABCD

2) Lấy E thuộc DC sao cho DE = AB. Chứng minh tam giác BEC cân

3) Tính đường cao BH của tam giác BEC

4) Tính diện tích hình thang ABCD

Answer 1

Bài 1:

Xét Δ BDM có: ∠BDM = 90*

MD ⊥ BD

=> BM² = BD² + DM² (Theo định lý Pytago)

<=> BD² = BM² - DM² (1)

Xét ΔMDC có: ∠CDM = 90*

MD ⊥ DC

=> MC² = MD² + DC²

<=> DC² = MC² - MD² (2)

Từ (1) và (2) => BD² - DC² = BM² - DM² - MC² - MD²

<=> BD² - DC² = BM² - MC²

Mà AM = MC (giả thiết) => BD² - CD² = BM² - AM²

=> BD² - CD² = AB² (đpcm)

Answer 2

Bài 2:

Vì △ABC vuông cân tại A

có AM là trung tuyến

=> AM là đường cao => AM ⊥ BC

Xét △AMB có ∠AMB = 90*

Theo Pytago ta có: AB² = AM2 + BM2

=> MB² = AB² - AM² (1)

Xét △AMB có ∠AMC = 90*

Theo Pytago ta có: AC² = AM² + MC²

=> MC² = AC² - AM² (2)

Từ (1) và (2) => MB² + MC² = AB² - AM² + AC² - AM²

=> MB² + MC² = (AB² + AC²) - 2AM²

=> MB² + MC² = BC² - 2AM²

=> MB² + MC² = (2AM)² - 2AM² = 4AM² - 2AM²

=> MB² + MC² = 2AM²

Answer 3

Bài 3:

1) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân

=> AB//CD => ∠BDC = ∠ABD (so le trong)

mà BD là phân giác của ∠D => ∠ADB = ∠BDC

=> ∠ABD = ∠ADB

=> △ABD cân tại A => AB = AD = 17(cm) (t/c của tam giác cân)

Vì tứ giác ABDC là hình thang cân => AB = BC = 17(cm)

=> \(C_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=17+17+33+17=84\left(cm\right)\)

2) Vì AB//CD

mà E ∈ CD => AB//DE (1)

Mà AB = DE (giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác ABDE là hình bình hành

=> AD = BE

mà tứ giác ABDE là hình bình hành (cmt) => BE = BE

=> △BEC cân ở B

3) Vì DE + EC = DC

<=> 17 + EC = 33 => EC = 16(cm)

Mà △BEC cân ở B (cmt)

có BH là đường cao => BH là trung tuyến

=> EH = HC = 8cm

Xét △BEC có ∠H = 90*

BH ⊥ EC => BH² = EH . HC = 8 . 8 = 64

=> BH = \(\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

=> \(S_{ABCD}=\dfrac{\left(AB+DC\right).BH}{2}=\dfrac{\left(17+33\right).8}{2}=200\left(cm^2\right)\)