Bài 1: Cho phương trình: x2 - 3x + 2 =0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y có 2 nghiệm y1 = x2 + \(\frac{1}{x_1}\) và y2 = x1 + \(\frac{1}{x_2}\)
Bài 2: Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1; x2. Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chũng không phụ thuộc vào m
Bài 4: Cho phương trình (m + 2)x2 + (1 - 2m)x + m - 3 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = \(-\frac{9}{2}\)
b) CMR: Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia.
Bài 5: Cho phương trình x2 - 2mx + m2 - 4m - 3 (m là tham số). Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 sao cho biểu thức T = x12 + x22 - x1.x2 đạt GTNN.
Câu 1:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)
Giả sử \(y_1;y_2\) là nghiệm của pt bậc 2 có dạng \(y^2+ay+b=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=-a\\y_1y_2=b\end{matrix}\right.\)
Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_2}\\y_1y_2=\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_1+x_2+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\y_1y_2=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\\y_1y_2=2+\frac{1}{2}+2=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{9}{2}=-a\\\frac{9}{2}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{9}{2}\\b=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
Hay \(y\) là nghiệm của \(y^2-\frac{9y}{2}+\frac{9}{2}=0\Leftrightarrow2y^2-9y+9=0\)
Câu 2:
Để pt đã cho có 2 nghiệm:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m-4\right)\left(m-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\5m-4\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ge\frac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{2m}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m-4}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{3\left(x_1+x_2\right)}{2}=\frac{3m}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m-4}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{3\left(x_1+x_2\right)}{2}+x_1x_2=\frac{4m-4}{m-1}=4\)
\(\Leftrightarrow3\left(x_1+x_2\right)+2x_1x_2-8=0\)
Đây là biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm ko phụ thuộc m
Câu 3:
Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm
Khi đó, theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\x_1x_2=2m-8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\2x_1x_2=4m-16\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế:
\(x_1+x_2+2x_1x_2=-17\)
Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
Câu 4:
a/ Bạn tự giải
b/ Với \(m=-2\Rightarrow x=1\)
Với \(m\ne-2\) ta có:
\(a+b+c=m+2+1-2m+m-3=0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm với mọi m: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=\frac{m-3}{m+2}\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x_1=3x_2\Rightarrow1=\frac{3\left(m-3\right)}{m+2}\)
\(\Leftrightarrow m+2=3m-9\Rightarrow m=\frac{11}{2}\)
TH2: \(x_2=3x_1\Rightarrow\frac{m-3}{m+2}=3\)
\(\Leftrightarrow m-3=3m+6\Rightarrow m=-\frac{9}{2}\)
Câu 5:
\(\Delta'=m^2-\left(m^2-4m-3\right)=4m+3\ge0\Rightarrow m\ge-\frac{3}{4}\)
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-4m-3\end{matrix}\right.\)
\(T=x_1^2+x_2^2-x_1x_2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-x_1x_2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\)
\(=4m^2-3\left(m^2-4m-3\right)\)
\(=m^2+12m+9\)
\(=\left(m+\frac{3}{4}\right)\left(m+\frac{45}{4}\right)+\frac{9}{16}\)
Do \(m\ge-\frac{3}{4}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+\frac{3}{4}\ge0\\m+\frac{45}{4}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(m+\frac{3}{4}\right)\left(m+\frac{45}{4}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{9}{16}\Rightarrow T_{min}=\frac{9}{16}\) khi \(m=-\frac{3}{4}\)
//Lưu ý ko tách biểu thức T thành
\(T=m^2+12m+36-27=\left(m+6\right)^2-27\ge-27\)
Vì dấu "=" xảy ra khi \(m=-6\) không phù hợp điều kiện có nghiệm \(m\ge-\frac{3}{4}\)
