Question

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

a, tứ giác EFGH là hình gì? vì sao?

b, CM:các đường thẳng AC,BC,EG,FH đồng quy?

Answer 1

a)

Ta nối E và G ; H và F lại với nhau tạo thành hai đường chéo của tứ giác HEFG.

Vì ABCD là hình nhữ nhật nên ABCD là hình thang đặc biệt.

Có: EG là đường trung bình của của hình chữ nhật ABCD ( AE=EB; DG=GC )

=> EG//AD (1)

HF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD ( AH=HD; BF=FC )

=> HF//AB (2)

Theo bài ra: AB _|_ AD ( Tứ giác ABCD là hình chữ nhật )

Từ (1) và (2) suy ra: HF_|_ EG

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi nên HEFG là hình thoi.

Bạn có thể chứng minh theo trục đối xứng.

b)

Gọi I là giao điểm của hai AC và BD (1)

Ta có: AC và BD là hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD

=> AI = IC và BI = ID

Xét tam giác ABC có: AE=EB và AI = IC

=> EI là đường trung bình của tam giác ABC

=> EG cắt AC tại I (2)

Xét tam giác ABD có AH=HD và DI=IB

=> HI là đường trung bình của tam giác ABD

=> HF cắt BD tại I (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra EG cắt HF tại I (4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra EG,HF,AC,BD đồng quy tại I