Bài 1: cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}4x+6y=9\\mx+3y=5\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 2 : Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5\\4x+3y=a\end{matrix}\right.\)
Tìm a để : a) Hệ có ngiệm duy nhất
b) Hệ có vô nghiệm
Bài 3 : Cho phương trình 2x-y=3. Tìm 1 phương trình để cùng với phương trình trên lập thành 1 hệ
a) Có nghiệm duy nhất
b) Có vô số nghiệm
c) Vô nghiệm
Bài 1:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6y=9-4x\\ 2mx+6y=10\end{matrix}\right.\Rightarrow 2mx+9-4x=10\)
\(\Leftrightarrow 2(m-2)x=1(*)\)
Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì PT $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất.
Điều này xảy ra khi $m-2\neq 0\Leftrightarrow m\neq 2$
Bài 2:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+8y=20\\ 4x+3y=a\end{matrix}\right.\Rightarrow 5y=20-a(*)\)
a) Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì $(*)$ phải có nghiệm $y$ duy nhất. Điều này luôn đúng với mọi $a$ vì $y=\frac{20-a}{5}$ được xác định duy nhất với mỗi $a$
Vậy $a\in\mathbb{R}$ thì hệ có nghiệm duy nhất
b) Theo phần a, ta suy ra không tồn tại $a$ để hệ vô nghiệm.
Lời giải:
Gọi PT cần tìm có dạng $ax+by=c$ với $a,b,c$ là các tham số thỏa mãn $a,b$ không đồng thời bằng $0$
Ta có: \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-y=3\\ ax+by=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=2x-3\\ ax+by=c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ax+b(2x-3)=c\)
\(\Leftrightarrow (a+2b)x=3b+c(*)\)
a) Để HPT có nghiệm duy nhất thì $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất. Điều này xảy ra khi $a+2b\neq 0$
Vậy PT cần tìm là $ax+by=c$ với $a,b,c\in\mathbb{R}$ và $a+2b\neq 0$
b) Để HPT đã cho có vô số nghiệm thì $(*)$ cũng phải có vô số nghiệm $x$. Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a+2b=0\\ 3b+c=0\end{matrix}\right.\Rightarrow a=-2b;c=-3b\)
Thay vào: $ax+by=c$
$\Leftrightarrow -2bx+by=-3b$
Nếu $b=0$ thì ta không thể tạo lập pt. Do đó $b\neq 0$
Giản ước 2 vế ta có pt cần tìm là $-2x+y=-3$
c)
Để HPT đã cho vô nghiệm thì PT $(*)$ vô nghiệm $x$
Điều này xảy ra khi \( \left\{\begin{matrix} a+2b=0\\ 3b+c\neq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-2b\\ c\neq -3b\end{matrix}\right.\)
Vậy PT cần tìm có dạng $ax+by=c$ với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn \( \left\{\begin{matrix} a=-2b(a,b\neq 0)\\ c\neq -3b\end{matrix}\right.\)
