Bài 1: Cho ABC, từ A kẻ AH vuông góc BC tại H. Biết AH = 6cm, BH = 4,5 cm, HC = 8cm
a) Tính AB, AC
b) Chứng tỏ ABC cân tại A.
Bài 2: Cho ABC cân tại A. Vẽ tia phân giác của góc A cắt BC tại H
a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Chứng minh ACD cân
c) Chứng minh AH // CD
Bài 1:
a) Áp dụng định lí pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được
\(AB^2=AH^2+BH^2\)
hay \(AB^2=6^2+\left(4,5\right)^2=56,25cm\)
\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{56,25}=7,5cm\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
hay \(AC^2=6^2+8^2=100\)
\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{100}=10cm\)
Vậy: AB=7,5cm; AC=10cm
b) *Sửa đề: chứng minh ΔABC vuông tại A
Ta có: \(AB^2+AC^2=\left(7,5\right)^2+10^2=156,25cm\)(1)
Ta có: \(BC^2=\left(BH+HC\right)^2=\left(4,5+8\right)^2=156,25cm\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB^2+AC^2=BC^2\)
Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)(cmt)
nên ΔABC vuông tại A(định lí pytago đảo)
Bài 2:
a) Xét ΔABH và ΔACH có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(do AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
AH là cạnh chung
Do đó: ΔABH=ΔACH(c-g-c)
b) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒AB=AC(3)
Ta có: AB=AD(gt)(4)
Từ (3) và (4) suy ra AC=AD
Xét ΔACD có AC=AD(cmt)
nên ΔACD cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
c) Ta có: AB=AD(gt)
mà A nằm giữa B và D
nên A là trung điểm của BD
⇒\(AB=AD=\frac{BD}{2}\)(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra \(AB=AC=AD=\frac{BD}{2}\)
hay \(AC=\frac{BD}{2}\)
Xét ΔBCD có
CA là đường trung tuyến ứng với cạnh BD(do A là trung điểm của BD)
\(CA=\frac{BD}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔBCD vuông tại C(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
⇒CD⊥BC
Ta có: AH là đường phân giác ứng với cạnh đáy BC trong ΔABC cân tại A(do AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
nên AH cũng là đường cao ứng với cạnh đáy BC(định lí tam giác cân)
⇒AH⊥BC
Ta có: AH⊥BC(cmt)
CD⊥BC(cmt)
Do đó: AH//CD(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
