Question

Bài 1: Cho ∆ABC cân tại A, gọi M gọi trung điểm của BC. Biết AB=17cm, BC=16cm.

a) CM: AM vuông góc với BC

b) Tính độ dài AM?

Bài 2: Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D sao cho KD= KA

a) CM: CD//AB

b) Gọi H là trung điểm của AC. CM: ∆ABH =∆CDH

c) BH cắt AD tại M, DH cắt BC tại N. CM: ∆HMN cân

d) Đường thẳng vuông góc vs KH tại K cắt AB tại I. CM: KI là tia phân giác góc AKB

Answer 1

Bài 1:

a) Xét \(\Delta\)AMB và \(\Delta\)AMC có

AB=AC(gt)

AM là cạnh chung

BM=MC(do M là trung điểm của BC)

Do đó: \(\Delta\)AMB=\(\Delta\)AMC(c-c-c)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

hay AM\(\perp\)BC(đpcm)

b) Ta có: M là trung điểm của BC(gt)

\(\Rightarrow MB=MC=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8cm\)

Áp dụng định lí pytago vào \(\Delta\)AMB vuông tại M, ta được

\(AB^2=AM^2+MB^2\)

hay \(AM^2=AB^2-MB^2=17^2-8^2=225\)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{225}=15cm\)

Vậy: AM=15cm

Bài 2:

a) Xét \(\Delta\)BKA và \(\Delta\)CKD có

BK=KC(do K là trung điểm của BC)

\(\widehat{BKA}=\widehat{CKD}\)(hai góc đối đỉnh)

AK=KD(gt)

Do đó: \(\Delta\)BKA=\(\Delta\)CKD(c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{CDK}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BAK}\) và \(\widehat{CDK}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên BA//CD(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

b) Ta có: AB//CD(cmt)

AB\(\perp\)AC(do \(\Delta\)ABC vuông tại A)

Do đó: DC\(\perp\)AC(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)

Xét \(\Delta\)BAH vuông tại A và \(\Delta\)DCH vuông tại C có

BA=DC(\(\Delta\)BAK=\(\Delta\)DKC)

AH=HC(do H là trung điểm của AC)

Do đó: \(\Delta\)BAH=\(\Delta\)DCH(hai cạnh góc vuông)

c) Ta có: ​\(\Delta\)BAH=​​\(\Delta\)DCH(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BHA}=\widehat{DHC}\)(hai góc tương ứng)

Xét ΔBAC vuông tại A và ΔDCA vuông tại C có

BA=DC(do ΔBAK=ΔCKD)

AC là cạnh chung

Do đó: ΔBAC=ΔDCA(hai cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{DAC}\)(hai góc tương ứng)

Xét ΔMHA và ΔNCH có ​

\(\widehat{MAH}=\widehat{NCH}\)(do \(\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\),M∈DA,H∈AC,N∈BC)

AH=HC(do H là trung điểm của AC)

\(\widehat{MHA}=\widehat{NHC}\)(do \(\widehat{BHA}=\widehat{DHC}\),M∈BH,N∈DH)

Do đó: ΔMHA=ΔNCH(g-c-g)

⇒HM=HN(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔHMN có HM=HN(cmt)

nên ΔHMN cân tại H(định nghĩa tam giác cân)

Answer 2