Question

b1 :Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phương trình \(x^2-2(m-1)x+m^2-1=0\). Tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

b2: :Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phương trình \(x^2-2(m-1)x+m^2-3m=0\). Tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

Answer 1

Bài 1:

Với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, ta áp dụng hệ thức Viete có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2+2=2m\\ x_1x_2+1=m^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+x_2+2)^2=4m^2\\ 4(x_1x_2+1)=4m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (x_1+x_2+2)^2=4(x_1x_2+1)\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4(x_1+x_2)+4=4x_1x_2+4\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+4(x_1+x_2)=0\)

Đây chính là hệ thức cần tìm

Answer 2

Bài 2:

Áp dụng hệ thức Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2+2=2m(1)\\ x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+x_2+2)^2=4m^2\\ 4x_1x_2=4m^2-12m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow 12m=(x_1+x_2+2)^2-4x_1x_2(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow (x_1+x_2+2)^2-4x_1x_2=6(x_1+x_2+2)\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-2(x_1+x_2)-8=0\)

Đây chính là biểu thức cần tìm.