_Solution:
Prove with Cauchy-Schwarz inequality engel form, we have:
\(A=\frac{1}{x^3+3xy^2}+\frac{1}{y^3+3x^2y}\ge\frac{4}{x^3+y^3+3xy^2+3x^2y}\)
\(A\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^3}\)
Other way: \(x+y\le1\Rightarrow\left(x+y\right)^3\le1\Rightarrow\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\ge1\)
\(\Rightarrow A\ge4\) (proof)
We have ''='' \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\).
Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=\(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z\(=\)3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P \(=\)\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\).
Cho cá số thực dương x, y, z thỏa mãn: \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
1. Cho các số dương x,y thỏa mãn :
x2010 + y2010= x2011 + y2011 = x2012 + y2012.
Tính x2016 + y2016.
2.Tìm các số x,y thỏa mãn : 2x2 + y2 -2y = 2(xy-1)
3.Cho y>x>0 và \(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{3}\). Tính giá trị biểu thức: A= \(\dfrac{x-y}{x+y}\)
4. Cho phân thức \(P=\dfrac{x^2+2y^2}{2x+3y+4}\). Với giá trị nào của x và y thì P=0.
Cho các số x, y thỏa mãn 36x2+16y2\(=\)9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= -2x+y
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:2x+3y+z=1.Tìm GTNN của biểu thức P=\(x^3+y^3+z^3\)
Cho x và y thỏa mãn: x^2 + 2xy + 6x + 6y + 2y^2 + 8=0.Tìm giá trị LN và NN của biểu thức B= x + y + 2016.
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn:2y>x.CMR:\(\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2\)≥3
Bài 5. (3,0 điểm).
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=xy\left(x+4\right)\left(y-2\right)+6x^2+5y^2+24x-10y+2043\).
2) Cho các số x, y, z không âm thoả mãn x+y+x=1 . Chứng minh rằng:
x + 2y + z \(\ge\) 4(1-x) (1-y)(1-z)
