\(P=\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x\left(2y-x\right)-x\left(2y-x\right)+x^2+y^2\)
\(P\ge\frac{2}{x}-2xy+2x^2+y^2\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+x^2+\left(x-y\right)^2\ge3+\left(x-y\right)^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Lời giải:
Với $x,y$ là các số thực dương, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x^2+y^2\geq 2xy\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq \frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy(1)\)
$2y>x$ nên $2y-x>0$. Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy=\frac{1}{x^3(2y-x)}+x(2y-x)+x^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^3(2y-x)}.x(2y-x).x^2}=3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq 3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
