+) Hoành độ giao điểm (d) và (Δ) là nghiệm của PT:
\(\left(3m+2\right)x+5=-x-1\) \(\Leftrightarrow\left(3m+2\right)x+5+x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3m+3\right)x+6=0\) \(\Leftrightarrow\left(m+1\right)x+2=0\) \(\Leftrightarrow x=\frac{-2}{m+1}\)
(d) cắt (Δ) tại điểm A(x;y) \(\Leftrightarrow m\ne-1\)
+) Từ đó, thay \(x=\frac{-2}{m+1}\) vào PT (Δ), ta có tung độ giao điểm đó:
\(y=\frac{2}{m+1}-1=\frac{2-m-1}{m+1}=\frac{1-m}{m+1}\)
+) Thay \(x=\frac{-2}{m+1}\) và \(y=\frac{1-m}{m+1}\) vào biểu thức P, ta có:
\(P=y^2+2x-3=\frac{\left(1-m\right)^2}{\left(m+1\right)^2}+\frac{2\cdot\left(-2\right)}{m+1}-3=\frac{m^2-2m+1}{\left(m+1\right)^2}+\frac{-4\left(m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}-\frac{3\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}\)
\(=\frac{m^2-2m+1-4m-4-3m^2-6m-3}{\left(m+1\right)^2}=\frac{-2m^2-12m-6}{\left(m+1\right)^2}=\frac{-6m^2-12m-6+4m^2}{\left(m+1\right)^2}\)
\(=\frac{-6\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}+\frac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}=\frac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}-6\)
Vì \(4m^2\ge0\) và \(\left(m+1\right)^2>0\) \(\Rightarrow\frac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}\ge0\Rightarrow\frac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}-6\ge0-6\)
\(\Rightarrow P\ge-6\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m=0\) (tmđk \(m\ne-1\))
Vậy với \(m=0\) thì (d) cắt (Δ) tại điểm A(x;y) sao cho biểu thức \(P=y^2+2x-3\) đạt GTNN là \(-6\).
