Question

áp dụng bdt cosi tìm gtnn của y=x/1-x+5/x; 0<x<1

Answer 1

\(y=\frac{x}{1-x}+\frac{5}{x}=\frac{x}{1-x}+\frac{5\left(1-x\right)}{x}+5\)

Áp dụng BĐT Cô - si ta có :

\(\frac{x}{1-x}+\frac{5\left(1-x\right)}{x}\ge2\sqrt{\frac{5x\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)}}=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow y\ge5+2\sqrt{5}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(x^2=5x^2-10x+5\Leftrightarrow4x^2-10x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{4}\\x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{4}\end{matrix}\right.\)