Áp dụng BĐT đã chứng minh ở phần trước:
\(\left(a+b+c\right)^2\le2k\left(1+bc\right)^2=4\left(1+bc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a+b+c\right)^2\le4a^2\left(1+bc\right)^2\)
\(\Rightarrow a\left(a+b+c\right)\le2a\left(1+bc\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+bc}\le\frac{2a}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{b}{1+ac}\le\frac{2b}{a+b+c}\) ; \(\frac{c}{1+ca}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế: \(P\le2\)
\(P_{max}=2\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị
`a,b,c\ge0`
`a^2+b^2+c^2=2`
Tìm Max `P=(a^2)/(a^2+bc+1)+(b^2)/(b^2+ac+1)+(c^2)/(c^2+ab+1)`
Cho \(a;b;c\ge0:a^2+b^2+c^2=1\)
CMR: \(\dfrac{c}{1+ab}+\dfrac{b}{1+ac}+\dfrac{a}{1+bc}\ge1\)
Cho `a^2+b^2+c^2=k\ge1`
Chứng minh:
a)`k+2bc\ge2a(b+c)`
b)`(a+b+c)^2\le2k(1+bc)^2`
c)`a+b+c+2/k abc\le\sqrt{2k}`
Áp dụng để làm:
`a,b,c\ge0`
`a^2+b^2+c^2=1`
Tìm Min,Max `P=a/(1+bc)+b/(1+ca)+c/(1+ab)`
Cho a,b,c dương t/m abc=1. Tìm max
\(T=\dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{bc}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+ca+a^2}\)
Cho \(a,b,c\ge0\) và \(a^2+b^2+c^2+abc=4\) Chứng minh \(ab+bc+ca\le abc+2\)
Cho a,b>0 thỏa \(8ab-2=3\left(a^4+b^4\right)\). Tính Max P = \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{ab}{3a^2b^2+1}\)
1. a) cho \(1\le a,b,c\le2\). Tìm max \(P=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\sqrt{\frac{3a^2+1}{3b^2+1}}+\sqrt{\frac{3b^2+1}{3c^2+1}}+\sqrt{\frac{3c^2+1}{3a^2+1}}\le\frac{7}{2}\)
2.a) \(a,b\ge0;c\ge1;a+b+c=2\). cmr: \(\left(6-a^2-b^2-c^2\right)\left(2-abc\right)\le8\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}a+b\le2\\a^2+b^2+ab=3\end{matrix}\right.\). Tìm max,min \(P=a^2+b^2-ab\)
Cho a,b,c \(\ge0,a+b+c=1\)
CMR:
ab+ac+bc\(\ge8\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\text{Cho }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
\(\text{Tìm max }P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
1. vs a.b. là các số dương t/m đk a+b+c+ab+ac+bc =6abc. c/m :\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)\(\ge\) 3
2. vs a,b,c là các số dương tmđk a+b+c=2. tìm max
Q= \(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\)
3. vs hai số thực không âm a,b tm \(a^2+b^2=4\) tìm max bt
M=\(\frac{ab}{a+b+2}\)
4.cho các số thực a,b,c thay đổi luôn luôn tm \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\) và ab+bc+ca=9. yimf min và mã bt:
P = \(a^2+b^2+c^2\)
5. tìm min bt P= \(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{x}\)
6. cho bt: P= \(a^4+b^4-ab\) vs a,b là các số thực tm \(a^2+b^2+ab=3\) . tìm min vad max
TẠI HẠ XIN ĐƯỢC CHỈ GIÁO, THỈNH CÁC THÍ CHỦ MỞ MANG TẦM MẮT!!!!!!!!!!!!!!!!!
( dạng này khó quá ta làm không nổi)
