1. vs a.b. là các số dương t/m đk a+b+c+ab+ac+bc =6abc. c/m :\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)\(\ge\) 3
2. vs a,b,c là các số dương tmđk a+b+c=2. tìm max
Q= \(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\)
3. vs hai số thực không âm a,b tm \(a^2+b^2=4\) tìm max bt
M=\(\frac{ab}{a+b+2}\)
4.cho các số thực a,b,c thay đổi luôn luôn tm \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\) và ab+bc+ca=9. yimf min và mã bt:
P = \(a^2+b^2+c^2\)
5. tìm min bt P= \(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{x}\)
6. cho bt: P= \(a^4+b^4-ab\) vs a,b là các số thực tm \(a^2+b^2+ab=3\) . tìm min vad max
TẠI HẠ XIN ĐƯỢC CHỈ GIÁO, THỈNH CÁC THÍ CHỦ MỞ MANG TẦM MẮT!!!!!!!!!!!!!!!!!
( dạng này khó quá ta làm không nổi)
5.
ĐKXĐ: \(0\le x\le1\)
\(P=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\)
\(P\ge\sqrt{1-x+x}+\sqrt{1+x+x}=1+\sqrt{1+2x}\ge2\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(x=0\)
6.
\(3=a^2+b^2+ab\ge2ab+ab=3ab\Rightarrow ab\le1\)
\(3=a^2+b^2+ab\ge-2ab+ab=-ab\Rightarrow ab\ge-3\)
\(\Rightarrow-3\le ab\le1\)
\(a^2+b^2+ab=3\Rightarrow a^2+b^2=3-ab\)
Ta có:
\(P=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2-ab\)
\(P=\left(3-ab\right)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\)
Đặt \(ab=x\Rightarrow-3\le x\le1\)
\(P=-x^2-7x+9=21-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\le21\)
\(\Rightarrow P_{max}=21\) khi \(x=-3\) hay \(\left(a;b\right)=\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
\(P=-x^2-7x+9=1+\left(1-x\right)\left(x+8\right)\ge1\)
\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(x=1\) hay \(a=b=1\)
1. \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge6\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Vậy \(P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{1}{3}.3^2=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
2. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(Q^2\le3\left(2a+bc+2b+ac+2c+ab\right)\)
\(Q^2\le6\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(Q^2\le6\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)^2=16\)
\(\Rightarrow Q\le4\Rightarrow Q_{max}=4\) khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
3.
Nhận thấy với a hoặc b bằng 0 thì \(M=0\), với \(ab\ne0\):
\(\frac{1}{M}=\frac{a+b+2}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{ab}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}+\frac{4}{a^2+b^2}=\sqrt{2}+1\)
\(\Rightarrow M\le\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)
4. \(P=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=9\)
\(\Rightarrow P_{min}=9\) khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Mặt khác, do \(a;b;c\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
Tương tự: \(bc+1\ge b+c\) ; \(ca+1\ge c+a\)
Cộng vế với vế: \(ab+bc+ca+3\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\le6\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le36\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=18\)
\(\Rightarrow P_{max}=18\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;4\right)\) và hoán vị
