Question

a,b,c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác.Cm 1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)>=1/a+1/b+1/c

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân số :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{(1+1)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{c}\)

Cộng theo vế: \(2\left (\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\geq 2\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$