Question

a) Tìm x, y biết: \(3xy^2+2x+2y+1=x^2+6y^2+xy\)

b) chứng minh rằng \(B=42^n+2.19^n+3.4^n\) chia hết cho 23 với n là số nguyên lẻ

Answer 1

Em nghĩ đề câu b là: n là số nguyên dương lẻ ạ!

Nếu đúng như vậy thì cách của em như sau:(ko chắc nha)

b) Với n = 1 thì mệnh đề đúng!

Giả sử nó đúng đến n = 2k + 1(do n lẻ mà) tức là:

\(42^{2k+1}+2.19^{2k+1}+3.4^{2k+1}⋮23\) (giả thiết quy nạp)

Ta sẽ chứng minh nó đúng với n = 2k + 3.

Cần chứng minh \(42^{2k+1}.42^2+2.19^{2k+1}.19^2+3.4^{2k+1}.4^2⋮23\)(*)

\(\Leftrightarrow42^2\left(42^{2k+1}+2.19^{2k+1}+3.4^{2k+1}\right)+2.19^{2k+1}\left(19^2-42^2\right)+3.4^{2k+1}\left(4^2-42^2\right)⋮23\)

Theo giả thiết quy nạp, ta chỉ cần chứng minh:

\(2.19^{2k+1}\left(19^2-42^2\right)+3.4^{2k+1}\left(4^2-42^2\right)⋮23\) (1)

Mà: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮a-b\) (Đk: a khác b)

Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}2.19^{2k+1}\left(19^2-42^2\right)⋮-23.2.19^{2k+1}⋮23\\3.4^{2k+1}\left(4^2-42^2\right)⋮23\end{matrix}\right.\)

Từ đó suy ra (1) đúng -> (*) đúng.

Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.