Question

a) Chứng minh: nếu  x²+y²=1 thì -√2≤x+y≤√2

b)cho x,y,z là các số thực dương

chúng minh :1/x + 1/y +1/z ≥ 1/ √xy+ 1/ √yz+ 1/ √xz

Answer 1

Lời giải:

$(x-y)^2\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow 2\geq (x+y)^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\geq x+y\geq -\sqrt{2}$

Ta có đpcm.

Answer 2

Bạn mới bổ sung câu b thì làm như sau:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}$

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2}{\sqrt{yz}}$

$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{2}{\sqrt{zx}}$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$