Question

68. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu: \(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)=0\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b-b^2a\right)-\left(a^2c-b^2c\right)+\left(c^2a-c^2b\right)\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)-c\left(a^2-b^2\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)-c\left(a+b\right)\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[ab-c\left(a+b\right)+c^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow.....\)