Bài 1:
Dễ thấy $p=2$ vô lý vì $2$ là số nguyên tố nhỏ nhất nên không thể bằng tổng 2 số nguyên tố khác.
Do đó $p$ lẻ.
Đặt \(\left\{\begin{matrix} p=a+b\\ p=c-d\end{matrix}\right.(a,b,c,d\in\mathbb{P}\))
Vì $p$ lẻ nên $a,b$ khác tính chẵn lẻ và $c,d$ khác tính chẵn lẻ. Mà cả 4 số đều là số nguyên tố nên trong mỗi cặp $(a,b)$, $(c,d)$ phải có một số bằng $2$
Không mất tổng quát giả sử $b=2$
$d=2$ vì $c>d$
Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} p=a+2\\ p=c-2\end{matrix}\right.\)
Nếu $p$ chia hết cho $3$ thì $p=3$\(\Rightarrow a=1\) (vô lý)
Nếu $p$ chia $3$ dư $1$:
\(p=3k+1=c-2\Rightarrow c=3k+3\vdots 3\Rightarrow c=3\)
\(\Rightarrow p=3-2=1\) (vô lý)
Nếu $p$ chia $3$ dư $2$
\(p=3k+2=a+2\Rightarrow a=3k\vdots 3\Rightarrow a=3\)
Khi đó: \(p=a+2=5\) (hoàn toàn thỏa mãn)
Vậy $p=5$
Bài 2:
Ta có: \(p+(p+2)=2p+2=2(p+1)\)
Vì $p$ nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ lẻ. Do đó $p+1$ chẵn
\(\Rightarrow p+1\vdots 2\Rightarrow p+(p+2)=2(p+1)\vdots 4\) (1)
Mặt khác:
$p>3$ nên $p\not\vdots 3$. Nếu $p=3k+1$ thì \(p+2=3k+3\vdots 3\) . Mà $p+2>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với giả thiết)
Do đó $p=3k+2$
\(\Rightarrow p+1=3k+3\vdots 3\Rightarrow p+(p+2)=2(p+1)\vdots 3(2)\)
Từ (1);(2) kết hợp với $(3,4)$ nguyên tố cùng nhau nên \(p+(p+2)\vdots 12\)
Ta có đpcm.
