Question

1,Tìm m để phương trình \(9^x-6.3^x+5=m\) có đúng 1 nghiệm x\(\in\left[0;\infty\right]\)

2,Tìm m để bất phương trình \(4^x-2^x-m\ge0\) nghiệm đúng \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

3,Tìm m để bất phương trình \(4^x-2^{^{ }x+2}-m\le0\) nghiệm đúng \(\forall x\in\left(-1;2\right)\)

Answer 1

Câu 1:

Đặt \(3^x=t(t>0)\)

PT trở thành:

\(t^2-6.t+5=m\)

\(\Leftrightarrow t^2-6t+(5-m)=0\)

Để PT có đúng một nghiệm thì \(\Delta'=9-(5-m)=0\)

\(\Leftrightarrow m=-4\)

Thử lại \(9^x-6.3^x+9=0\Leftrightarrow 3^x=3\Leftrightarrow x=1\in [0;+\infty )\) (đúng)

Vậy \(m=-4\)

Answer 2

Câu 2:

\(4^x-2^x-m\geq 0\Leftrightarrow (2^x)^2-2^x-m\geq 0\)

Đặt \(2^x=t\Rightarrow t^2-t-m\geq 0\) với mọi \(t\in (1; 2)\)

\(\Leftrightarrow m\leq t^2-t\Leftrightarrow m\leq \min (t^2-t)\)

Xét hàm \(f(t)=t^2-t\Rightarrow f'(t)=2t-1>0\forall t\in (1;2)\)

\(\Rightarrow f(t)> f(1)=0\) với mọi \(t\in (1;2)\)

Do đó \(m\leq 0\)

Answer 3

Câu 3:

Đặt \(2^x=t\Rightarrow t\in \left(\frac{1}{2}; 4\right)\)

BPT \(\Leftrightarrow t^2-4t-m\leq 0\Leftrightarrow m\geq t^2-4t\)

Để HPT luôn đúng với x thuộc khoảng xác định thì \(m\geq \max (t^2-4t)\)

Xét \(f(t)=t^2-4t\Rightarrow f'(t)=2t-4=0\Leftrightarrow t=2\)

Lập bảng biến thiên suy ra \(f(t)< f(4)=0\)

Do đó \(m\geq 0\)