không mất tính tổng quát, ta giả sử 0 ≤ x ≤ y ≤ z,
==> x + y + z ≤ z + z + z = 3z
==> xyz ≤ 3z
⇒xy ≤ 3⇒xy ∈ 1;2;3
Nếu xy=1 thì x=y=1 ==> z = 2+z vô lý (loại)
Nếu xy=2 ,do x= 2z=3+z ==> z=3 (thoả mãn )
Nếu xy=3 do x= 3z = 4+z==> z= 2 (Thoả mãn )
Vậy ( x , y , z )=(1,2,3); (1,3,2);(2,1,3),(2,3,1); (3,1,2);(3,2,1)
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3
=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3)
