Question

1)Cho \(\alpha\)là góc nhọn.Rút gọn bt:

\(A=\sin^6\alpha+cos^6\alpha+3sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

2)Cho tam giác ABC vuông tại A.C/m:\(\tan\dfrac{B}{2}=\dfrac{AC}{AB+BC}\)

3)Cho tam giác ABC,A=90,đ/cao AH.Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H trên AB,AC.Đặt AB=x.AC=y

a)Tính AI,AK theo x và y

b)CMR:\(\dfrac{BI}{CK}=\dfrac{x^3}{y^3}\)

GIÚP MK VS MK THANKS NHÌU Ạ

Answer 1

Lời giải:

1)

\(A=\sin ^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\)

\(\Leftrightarrow A=(\sin ^2\alpha+\cos^2\alpha)^3-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+3\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\)

\(\Leftrightarrow A=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha+3\sin ^2\alpha-\cos^2\alpha\)

\(\Leftrightarrow A=(1-\cos^2\alpha)(3\sin^2\alpha+1)=\sin^2\alpha(3\sin^2\alpha+1)\)

2)

Kẻ phân giác \(BD\)

Khi đó, \(\tan \frac{B}{2}=\tan \angle ABD=\frac{AD}{AB}\)

Mà theo tính chất đường phân giác kết hợp với tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{AD+DC}{AB+BC}=\frac{AC}{AB+BC}\)

Do đó, \(\tan \frac{B}{2}=\frac{AC}{AB+BC}\) (đpcm)

Answer 2

3)

a) Áp dụng định lý Pitago \(\Rightarrow BC=\sqrt{x^2+y^2}\)

Ta có \(HI\perp AB, HK\perp AC\Rightarrow HI\parallel AC, HK\parallel AB\)

Áp dụng định lý Tales:

\(\frac{AI}{AB}=\frac{HC}{BC}\Rightarrow AI=\frac{HC.AB}{BC}\)

Xét tam giác vuông $ABC$ và $HAC$ còn có chung góc nhọn \(C\) nên là hai tam giác đồng dạng.

\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

Do đó, \(AI=\frac{y^2.x}{x^2+y^2}\) . Tương tự, \(AK=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\)

b)

Từ phần a ta có:

\(BI=AB-AI=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\frac{x^3}{x^2+y^2}\)

\(CK=AC-AK=y-\frac{x^2y}{x^2+y^2}=\frac{y^3}{x^2+y^2}\)

\(\Rightarrow \frac{BI}{CK}=\frac{x^3}{y^3}\) (đpcm)