Question

1. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC và BMD.

Gọi E,F,I,K thứ tự là trung điểm của CM,CB,DM,DA.

CMR: a) EFIK là hình thang cân

          b) KF=1/2CD

2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH, HK vuông góc AB tại K.

Trên tia HC lấy D sao cho H là trung điểm BD, gọi I là trung điểm HK

CMR: AI vuông góc KD

Answer 1

1. Xét ∆ CMB có EF là đường trung bình của ∆.
=> EF // MB => EF // AB. (1)
Xét ∆ADM có KI là đường trung bình của ∆.
=> KI // AM => KI // AB. (2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác EFIK là hình thang (*)

Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AM và BN.

Xét ∆ ACM có PE là đường trung bình của ∆.
=> PE // AC mà AC // MD (Do góc A = góc M = 60⁰  ở vị trí đồng vị)

=> PE // MD (3)

Mặt khác  ∆ADM có PK là đường trung bình của ∆.
=> PK // MD (4)

Từ (3) và (4) => P; E; K thẳng hàng mà PE // AC nên KE // AC (5).

Từ (2) và (5) => CAB = EKI (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Mà  CAB = 60 độ => EKI = 60 độ (**)   

Chứng minh tương tự ta được F; I; Q thẳng hàng mà QF // MC nên IF // MC; Lại có MC // BD nên FI // BD (6).

Từ (2) và (6) => DBA = FIK (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Mà  DAB = 60 độ  => FIK = 60 độ (***)   

Từ (*); (**) và (***) => EFIK là hình thang cân (Hình thang có 2 góc ở đáy bàng nhau là hình thang cân) => đpcm