Question

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(y^2-5y+62=\left(y-2\right)x^2+\left(y^2-6y+8\right)x\)

2. Cho x, y, z>0 và x+y+z=1. Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

Answer 1

\(\left(y-2\right)\left(y-3\right)+56=\left(y-2\right)x^2+\left(y-2\right)\left(xy-4x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(x^2+xy-4x-y+3\right)=56\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left[\left(x-1\right)\left(x-3\right)+y\left(x-1\right)\right]=56\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(x-1\right)\left(x+y-3\right)=56\)

Tới đây bạn giải pt ước số bình thường (phân tích 56 thành tích 3 số là ok)

\(P\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)

\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+xy+yz+zx}+\frac{7}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}=30\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)