Question

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}\)

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)

Answer 1

1.

Ta có: \(P=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-3(\sqrt{x}+3)+25}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)+25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}=(\sqrt{x}+3)+\frac{25}{\sqrt{x}+3}-6\)

\(\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}+3).\frac{25}{\sqrt{x}+3}}-6\) (áp dụng BĐT AM-GM)

\(P\geq 2\sqrt{25}-6=4\)

Vậy $P_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $\sqrt{x}+3=5\Leftrightarrow x=4$

Answer 2

2.

\(P=\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)^2}=\frac{\sqrt{x}}{x+4+4\sqrt{x}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x+4\geq 4\sqrt{x}\Rightarrow x+4+4\sqrt{x}\geq 8\sqrt{x}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{x}}{8\sqrt{x}}=\frac{1}{8}$

Vậy $P_{\max}=\frac{1}{8}$. Giá trị này đạt tại $x=4$