\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2abc\)
\(=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+c\left(a^2+b^2+2ab\right)\)
\(=ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2\)
\(=\left(a+b\right)\left(ab+c^2+ac+bc\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)\)
\(=a^3b-a^3c+b^3c-b^3a+c^3a-c^3b\)
\(=ab\left(a^2-b^2\right)-c\left(a^3-b^3\right)+c^3\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a+b\right)\left(a-b\right)-c\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)+c^3\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2b+ab^2-a^2c-abc-b^2c+c^3\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left[a^2\left(b-c\right)+ab\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\left(b+c\right)\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2+ab-bc-c^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)\)
a. \(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2abc\)
\(=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+\left(ca^2+cb^2+2abc\right)\)
\(ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2\)
\(=\left(a+b\right)\left(ab+c^2+ac+bc\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
b. \(a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)\)
Tách c - a thành \(-[\left(b-a\right)+\left(a-b\right)]:\)
\(a^3\left(b-c\right)-b^3[\left(b-c\right)+\left(a-b\right)]+c^3\left(a-b\right)\)
\(=a^3\left(b-c\right)-b^3\left(b-c\right)-b^3\left(a-b\right)+c^3\left(a-b\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^3+b^3\right)-\left(a-b\right)\left(b^3-c^3\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
