Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hoàng Minh

1. Giải phương trình nghiệm nguyên: \(y^2+2xy-3x-2=0\)
2. Cho \(x>1;y>0\), chứng minh: \(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+\dfrac{1}{y^3}\ge3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)

 

Akai Haruma
13 tháng 9 2021 lúc 15:11

1. 

PT $\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)(x+2)$

Với $x\in\mathbb{Z}$ dễ thấy rằng $(x+1,x+2)=1$. Do đó để tích của chúng là scp thì $x+1,x+2$ cũng là những scp.

Đặt $x+1=a^2, x+2=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow b^2-a^2=1\Leftrightarrow (b-a)(b+a)=1$

Với $a,b\in\mathbb{N}$ dễ thấy $b-a=b+a=1$

$\Rightarrow b=1; a=0$

$\Rightarrow x=-1$

$(x+y)^2=(x+1)(x+2)=0\Rightarrow y=-x=1$
Vậy $(x,y)=(-1,1)$

Akai Haruma
13 tháng 9 2021 lúc 15:38

2.

Đặt $x-1=a$ thì bài toán trở thành:

Cho $a,y>0$. CMR:

$\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}\geq 3(\frac{1-2a}{a}+\frac{a+1}{y})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}+6\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{y}+\frac{3}{y}$
BĐT trên luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì:

$\frac{1}{a^3}+1+1\geq \frac{3}{a}$
$\frac{1}{y^3}+1+1\geq \frac{3}{y}$

$\frac{a^3}{y^3}+1+1\geq \frac{3a}{y}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=y=1$

$\Leftrightarrow x=2; y=1$


Các câu hỏi tương tự
Thanh Trúc
Xem chi tiết
Uchiha Itachi
Xem chi tiết
Pink Pig
Xem chi tiết
Anh Phạm
Xem chi tiết
học giỏi nhất web
Xem chi tiết
Trần Thị Mỹ Trinh
Xem chi tiết
Uchiha Itachi
Xem chi tiết
ffff
Xem chi tiết
Hồng Hà
Xem chi tiết