Question

1. Giải phương trình:

a) x² - 2x = 2\(\sqrt{2x-1}\)

b) 2(x² + 2) = 5\(\sqrt{x^2+1}\)

c) x² + 3x + 1 = (x+3)\(\sqrt{x^2+1}\)

2. Cho x,y,z>=0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=a

a) Tìm GTLN của biểu thức A=xy+yz+xz

b) Tìm GTNN của biểu thức B=x² + y² + z²

3. Cho 0<x<1, tìm GTNN của B=\(\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}\)

Answer 1

2.

a/ Áp dụgn hệ quả bđt cô si,ta có :

\(A=xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)

Vậy GTLN A =a^2/3 khi x= y =z =a/3

b/Áp dụng BĐT Cô-Si dạng Engel,ta có :

\(B=\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{z^2}{z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)

Vậy GTNN của B = a^2/2 khi x=y=z =a/3

Answer 2

\(B=\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+7\ge2\sqrt{\dfrac{3x}{1-x}.\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}}+7=7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2\)

Vậy min B = \(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\) khi \(\dfrac{3x}{1-x}=\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}\Leftrightarrow x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)