1, Chứng minh:
\(\frac{1}{C^2_2}+\frac{1}{C^2_3}+.......+\frac{1}{C^2_n}=\frac{2\left(n-1\right)}{n}\)
2, Giải các phương trình sau:
a, \(P_x.A^2_x+72=6\left(A^2_x+2P_x\right)\)
b, \(A^3_x-2C^2_x=40\)
3, Giải các bất phương trình:
a, \(\frac{1}{2}A^2_{2x}-A^2_x\le\frac{6}{x}C^3_x+10\)
b, \(4C^k_{k+2}-A^2_{k+3}< 6-k\)
Mọi người giúp mình với ạ!!! Mình cần gấp, mình cảm ơn rất nhiều!!!
1. Dễ thấy công thức trên đúng với n = 1.
Giả sử công thức trên đúng đến n, \(n\in\mathbb{N};n\geq 2\). Tức là ta có:
\(\frac{1}{C^2_2}+\frac{1}{C^2_3}+...+\frac{1}{C^2_n}=\frac{2\left(n-1\right)}{n}\). (1)
Ta chứng minh công thức trên đúng với n + 1. Tức là cần chứng minh:
\(\frac{1}{C^2_2}+\frac{1}{C^2_3}+...+\frac{1}{C^2_{n+1}}=\frac{2n}{n+1}\).
Thật vậy, ta có: \(\frac{2n}{n+1}-\frac{2\left(n-1\right)}{n}=\frac{2n^2-2\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{2}{n\left(n+1\right)};\frac{1}{C^2_{n+1}}=\frac{1}{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}\Rightarrow\frac{1}{C^2_{n+1}}=\frac{2n}{n+1}-\frac{2\left(n-1\right)}{n}\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta có: \(\frac{1}{C^2_2}+\frac{1}{C^2_3}+...+\frac{1}{C^2_{n+1}}=\frac{2n}{n+1}\).
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.
