Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Kookie BTS

1. Chứng minh các BĐT sau

a) \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

b) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

c) \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

d) \(a^4+b^4\ge2,\) biết rằng \(a+b=2.\)

@Hung nguyen , @Nguyễn Huy Tú , @Đinh Đức Hùng , @Lightning Farron , @ Mashiro Shiina , @Võ Đông Anh Tuấn , @soyeon_Tiểubàng giải, @Nguyễn Thanh Hằng

Cảm ơn các bác nhiều ạ

Phùng Khánh Linh
26 tháng 4 2018 lúc 19:24

a) Áp dụng BĐT Cô - si , ta có :

x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )

⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)

\(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2

b) Áp dụng BĐT Cô - si :

x + y ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\) ( x > 0 ; y > 0 )

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ 2.\(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\) ( a > 0 ; b > 0)

⇔ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 2.\(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\).\(2\sqrt{ab}\)

⇔( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 4

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)\(\dfrac{4}{a+b}\)

Phùng Khánh Linh
26 tháng 4 2018 lúc 19:30

c) Áp dụng BĐT Cô - si , ta có :

x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )

⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0 )

⇔ 2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b2

⇔ 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2

Lightning Farron
26 tháng 4 2018 lúc 19:37

c)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\("="\Leftrightarrow a=b\)

d) áp dụng BĐT ở câu c ta có:

\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{2^2}{2}\right)^2}{2}=2\)

\("="\Leftrightarrow a=b=1\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
26 tháng 4 2018 lúc 19:40

Câu c :

Xài bu-nhi đi .

\(\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\left(a.1+b.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Kookie BTS
4 tháng 5 2018 lúc 19:10

Đại tỉ heo muội với


Các câu hỏi tương tự
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
Lê Hồng Ánh
Xem chi tiết
Cindy Phương
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
Hiếu Cao Huy
Xem chi tiết
An Nguyễn Thiện
Xem chi tiết
Lưu Phương Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
An Nguyễn Thiện
Xem chi tiết