Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Hồng Ánh

Biết a,b >0, a+b=1, chứng minh rằng:

\(\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{25}{2}\)

Ngọc Linh
16 tháng 4 2018 lúc 20:16

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(NL=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}\) Bất đẳng thức phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ta có: \(NL\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+4\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)Dấu "=" khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
An Nguyễn Thiện
Xem chi tiết
Mai Thanh Hoàng
Xem chi tiết
Cindy Phương
Xem chi tiết
guard
Xem chi tiết
guard
Xem chi tiết
guard
Xem chi tiết