Question

1. Cho x+y+z=0. Chứng minh rằng: (x²+y²+z²)²=2(x⁴+y⁴+z⁴)

2. Cho x²-y²=1. Tính giá trị biểu thức: A=2(x⁶-y⁶)-3(x⁴+y⁴)

3. Phân tích thành nhân tử: (x-3)(x-1)(x+1)(x+3)+15

4. Với n thuộc N, n>1

    Chứng minh: a) 20ⁿ-1

                          b) 1000ⁿ+1 

            là các hợp số

Answer 1

\(1,x+y+z=0=>x=-\left(y+z\right)\)

\(=>x^2=\left(y+z\right)^2=y^2+2yz+z^2\)

\(=>x^2-y^2-z^2=2yz\)

\(=>\left(x^2-y^2-z^2\right)^2=\left(2yz\right)^2=4y^2z^2\)

\(=>x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2x^2z^2+2y^2z^2=4y^2z^2\)

\(=>x^4+y^4+z^4=4y^2z^2-2y^2z^2+2x^2z^2+2x^2y^2=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)

\(=>2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(đpcm\right)\)

\(2,A=2\left(x^6-y^6\right)-3\left(x^4+y^4\right)\)

\(=2\left[\left(x^2\right)^3-\left(y^2\right)^3\right]-3\left(x^4+y^4\right)\)

\(=2\left(x^2-y^2\right)\left(x^4+x^2y^2+y^4\right)-3\left(x^4+y^4\right)\)

\(=2\left(x^4+x^2y^2+y^4\right)-3\left(x^4+y^4\right)\)

\(=2x^4+2x^2y^2+2y^4-3x^4-3y^4=-x^4+2x^2y^2-y^4\)

\(=-\left(x^4-2x^2y^2+z^4\right)=-\left[\left(x^2-y^2\right)^2\right]=-1\) (do x²-y²=1)

 

Answer 2

\(3,\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)+15\)

\(=\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+15=\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)+15\left(1\right)\)

Đặt \(x^2-5=t\),khi đó (1) trở thành :

\(\left(t-4\right)\left(t+4\right)+15=t^2-16+15=t^2-1=\left(t-1\right)\left(t+1\right)\)

\(=\left(x^2-6\right)\left(x^2-4\right)=\left(x^2-6\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)

\(4,a,20^n-1=20^n-1^n=\left(20-1\right)\left(20^{n-1}+20^{n-1}+...+1^{n-1}\right)\)

chia hết cho (20-1)=19

=>20ⁿ-1 là hợp số vì có nhiều hơn 2 ước

b) đang kẹt,vấn đề nằm ở đề