1. Cho n là 1 số tự nhiên. hỏi có bao nhiêu số tự nhiên không vượt quá n và chia hết cho 1 số tự nhiên k nào đó
2.Cho A là tập hợp con thực sự khác rỗng của tập hợp số nguyên Z thỏa mãn tính chất :
i) \(\forall a,b\in A\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}-a\in A\\a+b\in A\end{matrix}\right.\) ii) \(5\in A\)
Cmr: mọi phần tử của A đều chia hết cho 5
3. Chứng minh quy tắc De morgan thì làm cách nào ạ?
4. Chứng minh nguyên lí bao hàm và loại trừ cho 3 tập hợp A,B,C thì vẽ sơ đồ Venn hay làm như thế nào?
@Akai Haruma, @Nguyễn Việt Lâm
Giúp em với ạ! Em cảm ơn nhiều
Đáp án bài 2 đây mn tham khảo ạ!
+ Nhận thấy A chứa số nguyên dương nhỏ nhất ( gọi số đó là p )
Ta sẽ chứng minh mọi phần tử của A đều là bội của p
Thật vậy gọi \(a\in A\) bất kì
=> \(a=kp+r\) ( \(0\le r< p;k,r\in Z\) )
Vì \(p\in A\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-p\in A\\2p\in A\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2p\in A\\3p\in A\end{matrix}\right.\)
cứ như vậy ta có \(kp\in A\forall k\in Z\)
\(\Rightarrow-kp\in A\Rightarrow a-kp\in A\) \(\Rightarrow r\in A\)
\(\Rightarrow r=0\) ( do p là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc A )
\(\Rightarrow a⋮p\)
+ Vì \(5\in A\Rightarrow5⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=1\\p=5\end{matrix}\right.\)
Nếu p = 1 thì \(A=Z\) ( loại )
\(\Rightarrow p=5\) => đpcm
Bài 1:
Nếu $n\vdots k$ thì trong tập các số tự nhiên không vượt quá $n$ là $\left\{0;1;2;...;n\right\}$ có:
$\frac{n-0}{k}+1=\frac{n}{k}+1$ số chia hết cho $k$
Nếu $n\not\vdots k$. Đặt $n=km+r$ với $0< r< k$. Trong tập các số tự nhiên không vượt quá $n$ là $\left\{0;1;2;...;n\right\}$ có: $\frac{km-0}{k}+1=m+1=\left[\frac{n}{k}\right]+1$
Tóm lại là có $\left[\frac{n}{k}\right]+1$ số tự nhiên không vượt quá $n$ chia hết cho 1 số tự nhiên $k$ nào đó.
Bài 2: Mình không nghĩ mọi phần tử của A đều chia hết cho $5$ mà từ đề bài ta có thể suy ra tập A là tập vô hạn thui. Nếu mình sai thì sau khi giáo viên chữa bài bạn có thể up cho mọi người tham khảo.
Bài 3:
Công thức De Morgan:
\(\left\{\begin{matrix} B\setminus (\bigcup ^n_{i=1}A_i)=\bigcap ^n_{i=1}(B\setminus A_i)(1)\\ B\setminus (\bigcap ^n_{i=1}A_i)=\bigcup ^n_{i=1}(B\setminus A_i)(2)\end{matrix}\right.\)
Ta nhớ rằng hai tập bằng nhau khi và chỉ khi mỗi tập là tập con của tập kia. Do đó để cm 2 tập $X,Y$ bằng nhau thì ta chứng minh với $x\in X$ bất kỳ thì $x\in Y$ và điều ngược lại cũng đúng.
Công thức số 1:
Giả sử \(x\in B\setminus (\bigcup ^n_{i=1}A_i)\) thì: \(\left\{\begin{matrix} x\in B\\ x\not\in \bigcup^n_{i=1} Ai\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in B\\ x\not \in A_i, \forall i=\overline{1,n}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x\in B\setminus A_i, \forall i=\overline{1,n}\)
\(\Leftrightarrow x\in \bigcap ^n_{i=1}(B\setminus A_i)\)
$\Leftrightarrow \(B\setminus (\bigcup ^n_{i=1}A_i)\subset \bigcap^n_{i=1}(B\setminus A_i) (*)\)
Tiếp tục xét $x$ bất kỳ mà $x\in \bigcap^n_{i=1}(B\setminus A_i)$
$\Rightarrow x\in B\setminus A_i, \forall i=\overline{1,n}$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in B\\ x\not\in A_i, \forall i=\overline{1,n}\end{matrix}\right.\Rightarrow x\in B\setminus (\bigcup^n_{i=1}A_i)\)
\(\Rightarrow B\setminus (\bigcup^n_{i=1}A_i)\supset \bigcap^{n}_{i=1}(B\setminus A_i)(**)\)
Từ $(*); (**)$ ta có đpcm.
Công thức số 2 bạn CMTT.
Bài 4: Nguyên lý bao hàm loại trừ với 3 tập $A,B,C$:
$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C|$ vẽ sơ đồ Venn mình nghĩ là cách dễ hình dung nhất.
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Ngọc Lộc , Nguyễn Văn Đạt
giúp em với ạ! Em cảm ơn ạ
