1: Xét (O) có
\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{MAC}=\widehat{ADC}\)
Xét ΔMAC và ΔMDA có
\(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)
\(\widehat{AMC}\) chung
Do đó: ΔMAC đồng dạng với ΔMDA
=>\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\)
=>\(MA^2=MD\cdot MC\left(1\right)\)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(2)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(3)
Từ (2),(3) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(4\right)\)
Từ (1),(4) suy ra \(MC\cdot MD=MH\cdot MO\)
2: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2\)
\(OH\cdot OM+MC\cdot MD\)
\(=OA^2+MA^2\)
\(=OM^2\)
3: \(MC\cdot MD=MH\cdot MO\)
=>\(\dfrac{MC}{MO}=\dfrac{MH}{MD}\)
Xét ΔMCH và ΔMOD có
\(\dfrac{MC}{MO}=\dfrac{MH}{MD}\)
\(\widehat{CMH}\) chung
Do đó: ΔMCH đồng dạng với ΔMOD
=>\(\widehat{MCH}=\widehat{MOD}\)
mà \(\widehat{MCH}+\widehat{DCH}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{MOD}+\widehat{DCH}=180^0\)
=>HCDO là tứ giác nội tiếp
