Bài 4:
a: (ξ): \(x^2+y^2-6x+2y+6=0\)
=>\(x^2-6x+9+y^2+2y+1-4=0\)
=>\(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)
Khi x=1 và y=3 thì ta có:
\(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=\left(1-3\right)^2+\left(3+1\right)^2=2^2+4^2=20\) >4
=>A(1;3) không thuộc (ξ)
b: (ξ): \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)
=>Tâm là I(3;-1); bán kính là R=2
Gọi (d): y=ax+b là phương trình đường thẳng đi qua A(1;3)
Thay x=1 và y=3 vào y=ax+b, ta được:
a*1+b=3
=>a+b=3
=>b=3-a
=>y=ax+3-a
=>ax-y+3-a=0
Khoảng cách từ I(3;-1) đến (d) là:
\(d\left(I;\left(d\right)\right)=\frac{\left|3\cdot a+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+3-a\right|}{\sqrt{a^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|3a-a+3+1\right|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{\left|2a+4\right|}{\sqrt{a^2+1}}\)
d(I;(d))=2
=>\(\frac{\left|a+2\right|}{\sqrt{a^2+1}}=1\)
=>\(\sqrt{\frac{a^2+4a+4}{a^2+1}}=1\)
=>\(\frac{a^2+4a+4}{a^2+1}=1\)
=>4a+4=1
=>4a=-3
=>a=-3/4
=>(d): \(y=-\frac34x+3-\frac{-3}{4}=-\frac34x+\frac{15}{4}\)
c: Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d1): ax+by+c=0
(d1)⊥(d): 3x-4y+1=0
=>(d1): 4x+3y+c=0
I(3;-1); R=2
Vì (d1) là tiếp tuyến của (ξ) nên ta có:
d(I;(d1))=R=2
=>\(\frac{\left|4\cdot3+3\cdot\left(-1\right)+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2\)
=>|c+12-3|=2*5=10
=>|c+9|=10
=>c+9=10 hoặc c+9=-10
=>c=1 hoặc c=-19
Vậy: (d1): 4x+3y+1=0 hoặc (d1): 4x+3y-19=0
