a: ΔBAC vuông tại B
=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)
=>\(AC=\sqrt{5^2+12^2}=13\left(cm\right)\)
Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao
nên \(BH\cdot AC=BA\cdot BC\)
=>\(BH\cdot13=5\cdot12=60\)
=>\(BH=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)
Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}BA^2=AH\cdot AC\\BC^2=CH\cdot CA\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{5^2}{13}=\dfrac{25}{13}\left(cm\right)\\CH=\dfrac{12^2}{13}=\dfrac{144}{13}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
b: Xét tứ giác CHDN có
\(\widehat{CHN}=\widehat{CDN}=90^0\)
=>CHDN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CN
=>ΔCHD nội tiếp đường tròn đường kính CN
Tâm là trung điểm của CN
c: ΔBCI vuông tại C có CH là đường cao
nên \(BH\cdot BI=BC^2\left(1\right)\)
Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao
nên \(CH\cdot CA=CB^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BI=CH\cdot CA\)
Xét ΔHIC vuông tại H và ΔHAN vuông tại H có
\(\widehat{HIC}=\widehat{HAN}\left(=90^0-\widehat{ACD}\right)\)
Do đó: ΔHIC đồng dạng với ΔHAN
=>\(\dfrac{HI}{HA}=\dfrac{HC}{HN}\)
=>\(HI\cdot HN=HA\cdot HC=BH^2\)
