Bài 1:
a: Tiêu điểm là \(F_1\left(-2;0\right)\)
=>c=2
\(b^2=a^2-c^2=a^2-4\)
Thay x=2 và y=5/3 vào (E), ta được:
\(\frac{2^2}{a^2}+\left(\frac53\right)^2:b^2=1\)
=>\(\frac{4}{a^2}+\frac{25}{9b^2}=1\)
=>\(\frac{4}{a^2}+\frac{25}{9\left(a^2-4\right)}=1\)
=>\(36\left(a^2-4\right)+25a^2=9a^2\left(a^2-4\right)\)
=>\(9a^4-36a^2=36a^2-144+25a^2=61a^2-144\)
=>\(9a^4-97a^2+144=0\)
=>a^2=9 hoặc a^2=16/9
mà a^2>c^2=4
nên a^2=9
=>\(b^2=9-4=5\)
=>(E): \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
b: Tiêu điểm là F2(5;0)
=>c=5
Độ dài trục nhỏ là \(4\sqrt6\)
=>\(2b=4\sqrt6\)
=>\(b=2\sqrt6\)
\(a^2=b^2+c^2=24+25=49\)
=>(E): \(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{\left(2\sqrt6\right)^2}=1\)
=>\(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1\)
c: Độ dài trục lớn là \(2\sqrt5\)
=>\(2a=2\sqrt5\)
=>\(a=\sqrt5\)
=>\(a^2=5\)
Tiêu cự là 2
=>2c=2
=>c=1
=>\(c^2=1\)
\(b^2=a^2-c^2=5-1=4\)
(E): \(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1\)
d: Thay x=2 và \(y=-\sqrt2\) vào (E), ta được:
\(\frac{2^2}{a^2}+\frac{\left(-\sqrt2\right)^2}{b^2}=1\)
=>\(\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1\) (1)
Thay \(x=-\sqrt6;y=1\) vào (E), ta được:
\(\frac{\left(-\sqrt6\right)^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)
=>\(\frac{6}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\)
=>\(\frac{12}{a^2}+\frac{2}{b^2}=2\) (2)
Từ (2),(1) suy ra \(\frac{12}{a^2}+\frac{2}{b^2}-\frac{4}{a^2}-\frac{2}{b^2}=2-1\)
=>\(\frac{8}{a^2}=1\)
=>\(a^2=8\)
\(\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1\)
=>\(\frac{2}{b^2}=1-\frac48=\frac12=\frac24\)
=>\(b^2=4\)
=>(E): \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)
