1: ABCD là hình chữ nhật
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔOAM và ΔOCP có
\(\hat{OAM}=\hat{OCP}\) (hai góc so le trong, AM//CP)
OA=OC
\(\hat{AOM}=\hat{COP}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAM=ΔOCP
=>OM=OP và AM=CP
Xét ΔOAQ và ΔOCN có
\(\hat{OAQ}=\hat{OCN}\) (hai góc so le trong, AQ//CN)
OA=OC
\(\hat{AOQ}=\hat{CON}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAQ=ΔOCN
=>OQ=ON
=>O là trung điểm của NQ
Xét tứ giác MNPQ có
O là trung điểm chung của MP và NQ
=>MNPQ là hình bình hành
Hình bình hành MNPQ có MP⊥NQ
nên MNPQ là hình thoi
2: H là trực tâm của ΔMQP
=>MH⊥QP
=>\(\hat{HMP}+\hat{MPQ}=90^0\)
mà \(\hat{MPQ}=\hat{PMN}\) (hai góc so le trong, MN//PQ)
nên \(\hat{HMP}+\hat{NMP}=90^0\)
=>\(\hat{NMH}=90^0\)
Xét ΔMQP có
QO là đường cao
H là trực tâm
Do đó: Q,H,O thẳng hàng
Xét ΔHMP có
HO là đường cao
HO là đường trung tuyến
Do đó: ΔHMP cân tại H
=>HM=HP
Xét ΔHMN và ΔHPN có
HM=HP
MN=PN
HN chung
Do đó: ΔHMN=ΔHPN
=>\(\hat{HMN}=\hat{HPN}\)
=>\(\hat{HPN}=90^0\)
