Bài 1:
a: Ta có: \(AE=\frac{AB}{2}\)
\(AF=\frac{AC}{2}\)
mà AB=AC
nên AE=AF
b: Xét ΔBAC có
H,F lần lượt là trung điểm của CB,CA
=>HF là đường trung bình của ΔBAC
=>HF//AB và \(HF=\frac{AB}{2}\)
HF//AB
=>HF//AE
\(HF=\frac{AB}{2}\)
\(AE=\frac{AB}{2}\)
Do đó: HF=AE
Xét tứ giác AEHF có
AE//HF
AE=HF
Do đó: AEHF là hình bình hành
Hình bình hành AEHF có AE=AF
nên AEHF là hình thoi
Bài 2:
a: ΔABC vuông tại A
mà AD là đường trung tuyến
nên DA=DB=DC
Xét tứ giác ADBE có
M là trung điểm chung của AB và DE
=>ADBE là hình bình hành
Hình bình hành ADBE có DA=DB
nên ADBE là hình thoi
b: Xét tứ giác ADCF có
N là trung điểm chung của AC và DF
=>ADCF là hình bình hành
Hình bình hành ADCF có DA=DC
nên ADCF là hình thoi
c: ADBE là hình bình hành
=>AE//BD và AE=BD
ADCF là hình thoi
=>AF//CD và AF=CD
AE//BD
=>AE//BC
AF//CD
=>AF//BC
mà AE//BC
và AE,AF có điểm chung là A
nên E,A,F thẳng hàng
AE=BD
AF=CD
mà BD=CD
nên AE=AF
=>A là trung điểm cua EF
=>E đối xứng F qua A
Bài 3:
a: Xét ΔMNP có
A,B lần lượt là trung điểm của MN,MP
=>AB là đường trung bình của ΔMNP
=>AB//NP và \(AB=\frac{NP}{2}\)
Xét ΔQNP có
C,D lần lượt là trung điểm của QP,QN
=>CD là đường trung bình của ΔQNP
=>CD//NP và \(CD=\frac{NP}{2}\)
Xét ΔNMQ có
A,D lần lượt là trung điểm của NM,NQ
=>AD là đường trung bình của ΔNMQ
=>AD//MQ và \(AD=\frac{MQ}{2}\)
\(AB=\frac{NP}{2}\)
\(AD=\frac{MQ}{2}\)
mà NP=MQ
nên AB=AD
b: AB//NP
CD//NP
Do đó: AB//CD
\(AB=\frac{NP}{2}\)
\(CD=\frac{NP}{2}\)
Do đó: AB=CD
Xét tứ giác ABCD có
AB//CD
AB=CD
Do đó: ABCD là hình bình hành
Hình bình hành ABCD có AB=AD
nên ABCD là hình thoi
=>AC⊥BD
