4:
a: ABCD là hình thang cân
=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)
=>\(\hat{ADC}=60^0\)
DB là phân giác của góc ADC
=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot60^0=30^0\)
Xét ΔBDC có \(\hat{BDC}+\hat{BCD}=30^0+60^0=90^0\)
nên ΔBDC vuông tại B
=> BD⊥BC
b: Ta có: AB//CD
=>\(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong)
=>\(\hat{ABD}=30^0\)
Xét ΔABD có \(\hat{ABD}=\hat{ADB}\left(=30^0\right)\)
nên ΔABD cân tại A
=>AB=AD
=>AD=4cm
ABCD là hình thang cân
=>AD=BC
=>BC=4(cm)
Xét ΔBDC vuông tại B có cos C=\(\frac{CB}{CD}\)
=>\(\frac{4}{CD}=cos60=\frac12\)
=>CD=8(cm)
Chu vi hình thang ABCD là:
AB+BC+CD+DA
=4+4+4+8
=20(cm)
Bài 2:
a: Ta có: \(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BD là phân giác của góc ABC)
\(\hat{ACE}=\hat{BCE}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CE là phân giác của góc ACB)
mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)
nên \(\hat{ABD}=\hat{CBD}=\hat{ACE}=\hat{BCE}\)
Xét ΔABD và ΔACE có
\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)
AB=AC
\(\hat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD=ΔACE
=>AD=AE và BD=CE
Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\)
nên ED//BC
Xét tứ giác BEDC có
ED//BC
BD=CE
Do đó: BEDC là hình thang cân
b: DE//BC
=>\(\hat{EDB}=\hat{DBC}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{EBD}=\hat{DBC}\)
nên \(\hat{EDB}=\hat{EBD}\)
=>ED=EB
BEDC là hình thang cân
=>EB=DC
=>BE=ED=DC
c: BE=ED=DC
=>BE=DE=DC=9cm
Chu vi hình thang BEDC là:
BE+ED+DC+BC
=9+9+9+15
=27+15
=42(cm)
