Gọi F là giao điểm của BM và CA
Gọi I là giao điểm của MH và BC
Ta có: MH⊥AB
AF⊥BA
Do đó: MH//AF
Xét (O) có
CA,CM là các tiếp tuyến
Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BF tại M
=>ΔAMF vuông tại M
Ta có; \(\hat{CAM}+\hat{CFM}=90^0\) (ΔAMF vuông tại M)
\(\hat{CMA}+\hat{CMF}=\hat{AMF}=90^0\)
mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\)
nên \(\hat{CMF}=\hat{CFM}\)
=>CM=CF
mà CM=CA
nên CF=CA(1)
=>C là trung điểm của AC
Xét ΔBAC có IH//AC
nên \(\frac{IH}{AC}=\frac{BI}{BC}\) (2)
Xét ΔBFC có MI//FC
nên \(\frac{MI}{FC}=\frac{BI}{BC}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra IH=MI
=>I là trung điểm của MH
=>I trùng với E
=>B,E,C thẳng hàng
